Bei der Berechnung der Entfernung zweier Punkte \(\Large P\) und \(\Large Q\) in der Ebene bzw. in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann in einfacher Weise ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert wird, auf das der Satz des Pythagoras angewendet werden kann:

Abstand zweier Punkte in der Ebene

Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Quadrate der Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist.
Hieraus ergibt sich für die Hypotenuse und dann für den Abstand \(\Large d\) der Punkte \(\Large P\) und \(\Large Q\):

\(\Large d=\sqrt{(p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2}\)

Bei der Berechnung der Entfernung zweier Punkte \(\Large P\) und \(\Large Q\) im Raum bzw. in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird die einfache Abstandsformel erweitert:

\(\Large d=\sqrt{ (p_x-q_x)^2+(p_y-q_y)^2+(p_z-q_z)^2}\)

Berechne die Entfernung von P und Q in der oberen Abbildung!

Gegeben sind die Fixpunkte

\(\Large P(1,2)\) und \(\Large Q(4,4)\)

sowie die Entfernungen (Radien)

\(\Large {r_p}=\sqrt5\) und \(\Large {r_q}=\sqrt10\)

Gesucht werden die Koordinaten des Punktes \(\Large S\).

Ausgangsgleichungen:

\(\Large(x_p-x_s)^2+(y_p-y_s)^2={r_p}^2\)
\(\Large(x_q-x_s)^2+(y_q-y_s)^2={r_q}^2\)


Werte des Beispiels:

\(\Large x_p=1, y_p=2, x_q=4, y_q=4, r_p=\sqrt{5}, r_q=\sqrt{10}\)


Einsetzen der Werte:

\(\Large(1-x_s)^2+(2-y_s)^2=5\)

\(\Large(4-x_s)^2+(4-y_s)^2=10\)


Anwenden der binomischen Formel:

\(\Large 1-2x_s+x_s^2+4-4y_s+y_s^2=5\)

\(\Large 16-8x_s+x_s^2+16-8y_s+y_s^2=10\)


Ordnen / Vereinfachen

\(\Large x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0\) (Gleichung I.)

\(\Large x_s^2-8x_s-8y_s+y_s^2=-22\) (Gleichung II.)


Gleichung II. von Gleichung I. abziehen (\(\Large x_s^2\) und \(\Large y_s^2\) fallen weg)

\(\Large 6x_s+4y_s=22\)


Vereinfachen

\(\Large 3x_s+2y_s=11\)


nach \(y_s\) auflösen

\(\Large y_s=\frac {11-3x_s}{2}\)


\(\Large y_s\) in Gleichung I. einsetzen und Normalform herstellen (\(\Large a x^2 +b x + c =0\))

\(\Large x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0\) (Gleichung I.)

\(\Large x_s^2-2x_s-4(\frac {11-3x_s}{2})+(\frac {11-3x_s}{2})^2=0\)

\(\Large x_s^2-2x_s-\frac {44-12x_s}{2}+\frac {(121-66x_s+9x_s^2)}{4}=0\)

\(\Large 4x_s^2-8x_s-88+24x_s+121-66x_s+9x_s^2=0\)

\(\Large 13x_s^2-50x_s+33=0\)



Lösungsformel anwenden

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{-(-50)\pm\sqrt{(-50)^2-4\cdot13\cdot33}}{2\cdot13}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{2500-1716}}{26}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{784}}{26}\)

\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm28}{26}\)


\(\LARGE x_1=3\)

\(\LARGE x_2=\approx 0,846...\)


Einsetzen in \(\Large y_s=\frac {11-3x_s}{2}\)

\(\LARGE y_1=1\)

\(\LARGE y_2=\approx 4,230...\)



Lösung

Der Schnittpunkt \(S\) besitzt die Koordinaten \((3,1)\), der zweite Schnittpunkt besitzt die Koordinaten \((0,846...,4,230...)\).

Die Position eines Punktes \(S\) in einer Ebene lässt sich recht einfach bestimmen, wenn die Koordinaten zweier Fixpunkte \(P\) und \(Q\) und wenn zusätzlich die beiden Entfernungen von \(S\) zu den beiden Fixpunkten ebenfalls bekannt sind.

Die Abbildung verdeutlicht den allgemeinen Fall. Nach den Formeln zur Berechnung von Abständen zwischen zwei Punkten lassen sich zwei Bestimmungsgleichungen aufstellen mit den beiden unbekannten Werten für die x- und y-Koordinate des Standortes \(S\) .

\(\Large \overline {PS}=\sqrt{(x_p-x_s)^2+(y_p-y_s)^2}\)

\(\Large \overline {QS}=\sqrt{(x_q-x_s)^2+(y_q-y_s)^2}\)

Dieses Gleichungssystem kann mit Methoden der Algebra nach den Koordinaten \(x_s\) und \( y_s\) des gesuchten Standortes aufgelöst werden.


Aus dieser Darstellung ergibt sich auch eine einfache geometrische Konstruktionsvorschrift zur Bestimmung des unbekannten Standortes \(S\). Um die beiden Fixpunkte \(P\) und \(Q\) werden Kreise mit dem Radius der Entfernungen \(\overline {PS}\) und \(\overline {QS}\) geschlagen. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten, von denen einer in der Regel sofort ausgeschlossen werden kann. Der Sonderfall nur eines einzigen Berührpunktes wird hier nicht weiter betrachtet.

 

 

Die obige Anwendung stellt diese Situation mit Hilfe einer Animation anschaulich dar. Mit der Maus kann der Punkt \(S_1\) verschoben werden. Der gesuchte Standort und folglich auch die Abstände zu den Fixpunkten \(P_1\) und \(P_2\) verändern sich. In anderer Sichtweise von den Fixpunkten \(P_1\) und \(P_2\) aus gesehen verändern sich die Radien der Kreise, die sich immer mindestens in einem gemeinsamen Punkt schneiden.

Geben Sie unten für die Kreise die Radien und die Koordinaten der Mittelpunkte ein und klicken Sie ok.