Gegeben sind die Fixpunkte
\(\Large P(1,2)\) und \(\Large Q(4,4)\)
sowie die Entfernungen (Radien)
\(\Large {r_p}=\sqrt5\) und \(\Large {r_q}=\sqrt10\)
Gesucht werden die Koordinaten des Punktes \(\Large S\).
Ausgangsgleichungen:
\(\Large(x_p-x_s)^2+(y_p-y_s)^2={r_p}^2\)
\(\Large(x_q-x_s)^2+(y_q-y_s)^2={r_q}^2\)
Werte des Beispiels:
\(\Large x_p=1, y_p=2, x_q=4, y_q=4, r_p=\sqrt{5}, r_q=\sqrt{10}\)
Einsetzen der Werte:
\(\Large(1-x_s)^2+(2-y_s)^2=5\)
\(\Large(4-x_s)^2+(4-y_s)^2=10\)
Anwenden der binomischen Formel:
\(\Large 1-2x_s+x_s^2+4-4y_s+y_s^2=5\)
\(\Large 16-8x_s+x_s^2+16-8y_s+y_s^2=10\)
Ordnen / Vereinfachen
\(\Large x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0\) (Gleichung I.)
\(\Large x_s^2-8x_s-8y_s+y_s^2=-22\) (Gleichung II.)
Gleichung II. von Gleichung I. abziehen (\(\Large x_s^2\) und \(\Large y_s^2\) fallen weg)
\(\Large 6x_s+4y_s=22\)
Vereinfachen
\(\Large 3x_s+2y_s=11\)
nach \(y_s\) auflösen
\(\Large y_s=\frac {11-3x_s}{2}\)
\(\Large y_s\) in Gleichung I. einsetzen und Normalform herstellen (\(\Large a x^2 +b x + c =0\))
\(\Large x_s^2-2x_s-4y_s+y_s^2=0\) (Gleichung I.)
\(\Large x_s^2-2x_s-4(\frac {11-3x_s}{2})+(\frac {11-3x_s}{2})^2=0\)
\(\Large x_s^2-2x_s-\frac {44-12x_s}{2}+\frac {(121-66x_s+9x_s^2)}{4}=0\)
\(\Large 4x_s^2-8x_s-88+24x_s+121-66x_s+9x_s^2=0\)
\(\Large 13x_s^2-50x_s+33=0\)
Lösungsformel anwenden
\(\LARGE x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\LARGE x_{1,2}=\frac{-(-50)\pm\sqrt{(-50)^2-4\cdot13\cdot33}}{2\cdot13}\)
\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{2500-1716}}{26}\)
\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm\sqrt{784}}{26}\)
\(\LARGE x_{1,2}=\frac{50\pm28}{26}\)
\(\LARGE x_1=3\)
\(\LARGE x_2=\approx 0,846...\)
Einsetzen in \(\Large y_s=\frac {11-3x_s}{2}\)
\(\LARGE y_1=1\)
\(\LARGE y_2=\approx 4,230...\)
Lösung
Der Schnittpunkt \(S\) besitzt die Koordinaten \((3,1)\), der zweite Schnittpunkt besitzt die Koordinaten \((0,846...,4,230...)\).